Квадрат суммы двух чисел - это фундаментальная алгебраическая формула, которая находит широкое применение в математике и ее приложениях. Рассмотрим ее определение, доказательство и практическое использование.
Содержание
Формула квадрата суммы
Для любых двух чисел a и b квадрат их суммы выражается следующей формулой:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Доказательство формулы
- Запишем квадрат суммы как произведение двух одинаковых скобок: (a + b)2 = (a + b)(a + b)
- Раскроем скобки по правилу умножения многочленов: a·a + a·b + b·a + b·b
- Упростим выражение: a2 + ab + ba + b2
- Поскольку ab = ba (коммутативность умножения), получаем: a2 + 2ab + b2
Геометрическая интерпретация
| Фигура | Площадь | Связь с формулой |
| Квадрат со стороной (a+b) | (a+b)2 | Общая площадь |
| Квадрат со стороной a | a2 | Первое слагаемое |
| Квадрат со стороной b | b2 | Третье слагаемое |
| Два прямоугольника a×b | 2ab | Второе слагаемое |
Примеры применения
- Вычисление (3 + 5)2 = 32 + 2·3·5 + 52 = 9 + 30 + 25 = 64
- Упрощение выражения (x + 4)2 = x2 + 8x + 16
- Решение уравнений: (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
Частные случаи формулы
Квадрат суммы числа и единицы
(a + 1)2 = a2 + 2a + 1
Квадрат суммы одинаковых чисел
(a + a)2 = 4a2
Ошибки при применении формулы
| Неправильное применение | Правильный вариант |
| (a + b)2 = a2 + b2 | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| (a + b)2 = a2 + ab + b2 | Не хватает второго ab |
Применение в алгебре
- Разложение на множители
- Упрощение сложных выражений
- Вывод других алгебраических формул
- Решение квадратных уравнений
Заключение
Формула квадрата суммы двух чисел является важным инструментом в алгебре. Ее понимание и правильное применение позволяет эффективно решать широкий круг математических задач. Геометрическая интерпретация помогает наглядно представить суть этой алгебраической формулы.
